$$
\begin{aligned}
& P \in xoy \\
& P' \in xoy \\
& M \in zox \\
& M \left( x, 0, z \right) \\
& P \left(0, y_1, 0 \right) \\
& P' \left(x_2, y_2, 0 \right)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
PM & = \sqrt{y^2 + y_1^2 + z^2} \\
MP' & = \sqrt{( x_2 - x )^2 + y_1^2 + z^2} \\
\delta & = n_1 PM + n_2 MP' \\
\delta & = n_1 \sqrt{y^2 + y_1^2 + z^2} + n_2 \sqrt{( x_2 - x )^2 + y_1^2 + z^2} \\
\end{aligned}
\\
$$
$$
\begin{aligned}
& z=? \ x=? \ \text{a.î.} \ \delta_{min} \\
& \delta_{min} \implies z = 0 \implies \text{raza incidentă, normală în punctul de contact și raza reflectată sunt în același plan.}
\end{aligned}
\\
$$
$$
\begin{aligned}
\left.
\begin{aligned}
\delta = n_1 \sqrt{y^2 + y_1^2 + z^2} + n_2 \sqrt{( x_2 - x )^2 + y_1^2 + z^2} \ \\
\delta'_{(x)} = 0 \
\end{aligned}
\right \vert \implies \\
\implies \delta'_{(x)} = n_1 (x^2 + y_1^2) ^ { - \frac{1}{2} } \cdot 2x + n_2 \left[ (x_2 - x)^2 + y_2^2 \right] ^ { - \frac{1}{2} } \cdot 2(x_2 - x) \cdot (-1) = 0
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\\
n_1 \frac{x}{ \sqrt{x^2 +y_1^2} } & = n_2 \frac{x_2 - x}{ \sqrt{( x_2 - x )^2 + y_1^2} } \\
n_1 \sin{i} & = n_2 \sin{r}
\end{aligned}
$$
